BLOQUES 8, 9 Y 10

I.- LEY DE SENOS Y COSENOS

II.- ESTADÍSTICA: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN.

III.- PROBABILIDAD: DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD, REGLAS DE LA PROBABILIDAD, PROBABILIDAD CONDICIONAL.

I.- TEOREMA DEL SENO

Ejemplo:

Resolver un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30º

-   Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, colocamos los datos conocidos y resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.

TEOREMA DEL COSENO

Ejemplo

Resolver un triángulo con los datos siguientes: a = 1200 m, c= 700 m y B = 108º

-   Dibujamos el triángulo, nos dan 2 lados y el ángulo que forman, calculamos el lado b

APLICACIONES DE ESTOS TEOREMAS PARA CALCULAR DISTANCIAS DESCONOCIDAS

Calcular una altura desconocida a cuyo pie no se puede llegar

 Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles

Problemas de aplicación

II.- ESTADÍSTICA:
DATOS AGRUPADOS
1.1 MEDIA: Media aritmética, es la que se obtiene sumando los datos y dividiéndolos por el número de ellos. Se aplica por ejemplo para resumir el número de pacientes promedio que se atiende en un turno. Otro ejemplo, es el número promedio de controles prenatales que tiene una gestante.

1.2 MEDIANA: Corresponde al percentil 50%. Es decir, la mediana divide a la población exactamente en dos. Por ejemplo el número mediana de hijos en el centro de salud “X” es dos hijos. Otro ejemplo es el número mediana de atenciones por paciente en un consultorio.

 

1.3 MODA: Valor o (valores) que aparece(n) con mayor frecuencia. Una distribución unimodal tiene una sola moda y una distribución bimodal tiene dos. Útil como medida resumen para las variables nominales. Por ejemplo, el color del uniforme quirúrgico en sala de operaciones es el verde; por lo tanto es la moda en colores del uniforme quirúrgico.

 

2.1 DESVIACIÓN ESTÁNDAR: Llamada también desviación típica; es una medida que informa sobre la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.

LA VARIANZA: Es el valor de la desviación estándar al cuadrado; su utilidad radica en que su valor es requerido para todos los procedimientos estadístico.

III.- PROBABILIDAD
Definición de probabilidad:

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

Regla de Adición

Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos simples. Las uniones, intersecciones y complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto a menudo puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones, las operaciones básicas de los conjuntos también son útiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.

De esta manera para A y B eventos del espacio muestral S, entonces:

Demostración:

Se conoce que            

por otro lado se tiene que  Entonces

Regla de Multiplicación

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar 

Las relaciones  y  son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:

Calcular probabilidades de intersecciones de eventos con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea  eventos tales que . Entonces

Ejemplo

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene  items de los cuales  son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento  que es la intersección entre los eventos  y . De la información dada se tiene que:

 

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que un evento  ocurra cuando se sabe que ya ocurrio un evento  se llama probabilidad condicional y se denota por  que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad,  definida como

¿ Es  una función de probabilidad?

 es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas

Axioma I

 para todo evento .

Como

entonces dividiendo por  se tiene los términos de la desigualdad se tiene

Axioma II

Como

Axioma III

Si  es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

como los eventos son mutuamente excluyentes, entonces los eventos son también mutuamente excluyentes y así

Ejemplo

1. La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad , una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad  solo la interferencia pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal con probabilidad , cuando aparece una interferencia pura con la probabilidad . Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.

Solución:

Sean U: el evento la señal es útil con interferencia superpuesta

I : el evento la señal es útil con interferencia pura

S: el evento que indica ocurre una señal

Con base en el diagrama , la probabilidad se puede calcular así: